2024-03-28T22:22:56Z
https://u-ryukyu.repo.nii.ac.jp/oai
oai:u-ryukyu.repo.nii.ac.jp:02004450
2022-10-31T01:57:55Z
1642838403123
1642838403551:1642838406414
有理関数空間の完備化の位相幾何
Topology of completions of the space of rational functions
神山, 靖彦
志賀, 博雄
手塚, 康誠
Kamiyama, Yasuhiko
Shiga, Hiroo
Tezuka, Michishige
有理関数
完備化
ハープ空間
ホモロジー
安定ホモトピー
ホモトピーファイバー
インスタントン
リー群
rational function
completion
loop space
homology
stable homotopy
homotopy fiber
instanton
Lie group
科研費番号: 13640085
平成13年度~平成14年度科学研究費補助金(基盤研究(C)(2))研究成果報告書
Instantonsのmoduli空間にはそれを開集合として含むUhlenbeck completionがあり,gauge理論において1つの中心的研究手段である.本研究の目的はS^2から複素多様体Vへの有理関数空間に同様の完備化を定義し,その位相幾何を調べることである.\nまず典型的な場合であるV=CP^nのときを考える.Rat_k(CP^n)でS^2からCP^nへの基点を保つdegree kの正則写像空間を表す.i_k : Rat_k(CP^n)→Ω^2_kCP^n【similar or equal】Ω^2S^<2n+1>を包含写像とする.Segalによりi_κはκ(2n-1)次元までホモトピー同値であり,更に Rat_k(CP^n)の安定ホモトピー型は報告者及びそれとは独立にCohen-Cohen-Mann-Milgramにより,Ω^2S^<2n+1>のstable summandsを用いて記述されていた.\nRat_k(CP^n)は共通根を持たない monicな複素k次多項式の(n+1)組を表示されるがこれを一般化してX^l_k(CP^n)を高々l個の共通根を持つmonicな複素k次多項式の (n+1)組とする.X^0_k(CP^n)=Rat_k(CP^n)であり,X^k_k(CP^n)=C^<k(n+1)>である.本研究では後者が前者のUhlenbeck完備化であることを証明した.つまりX^l_k(CP^n)はRat_k(CP^n)がその完備化に移行していく空間なのである.更にX^l_k(CP^n)の安定ホモトピー型を決定することに成功した.\n次にCP_nをloop群ΩGに一般化したときの有理関数空間(これは正にinstantonsのmoduli空間である)の完備化を研究した.研究過程で次のことも分かった.SU(2)のGにおける中心化群を 0とおきJ : G/C→Ω^3_0GをJ(gC)(x)=gxg^<-1>x^<-1>とおく.このときJ_*:H_*(G/C ; Z/2)→H_*(Ω^3_0G ; Z/2)は単射である.この結果はBottによるΩGのgenerating mapsに関する定理の一般化でありこれ自身大変興味あるものである.
For instanton moduli spaces we have the Uhlenbeck completion, which is useful in the field of gauge theory. The purpose of this study is to define a similar completion for spaces of rational functions from S^2 to a complex manifold V.\nFirst we study the typical case V = CP^n. Let Rat_k(CP^n) be the space of based holomorphic maps of degree k from S^2 to CP^n. Let i_k : Rat_k(CP^n) → Ω^2_kCP^n 【similar or equal】 Ω^2S^<2n+1> be the inclusion. Segal showed that i_k is a homotopy equivalence up to dimension k(2n - 1). Later I and independently Cohen-Cohen-Mann-Milgram described the stable homotopy type of Rat_k(CP^n) in terms of stable summands of Ω^2S^<2n+1>.\nNote that Rat_k(CP^n) consists of (n + 1)-tuples of monic degree k complex polynomials without common roots. Generalizing this, we define a space X^l_k(CP^n) by the set of (n + 1)-tuples of monic degree k complex polynomials with at most l roots in common. We have X^0_k(CP^n) = Rat_k(CP^n) and X^k_k(CP^n) = C^<k(n+1)>. In this study I proved that the latter is the Uhlenbeck completion of the former. This implies that X^l_k(CP^n) is a space which appears when we shift from Rat_k(CP^n) to its completion. Moreover, I succeeded in determining the stable homotopy type of X^l_k(CP^n).\nNext I change CP^n to a loop group ΩG. In this case the space of rational functions from S^2 to ΩG is exactly the instanton moduli space. I studied its completion. In the process of the study, I was able to prove the following theorem: Let C be the centralizer of SU(2) in G and let J : G/C → Ω^3_0 be the map defined by J(gC)(x) = gxg^<-1>x^<-1>. Then J_* : H_*(G/C; Z/2) → H_*(Ω^3_0G; Z/2) is injective. Note that this result is a generalization of the Bott's theorem about generating maps of ΩG, and very interesting in itself.
未公開:P.7以降(別刷論文のため)
研究報告書
http://purl.org/coar/resource_type/c_18ws
神山靖彦
2003-03
VoR
http://hdl.handle.net/20.500.12000/9227
BA64193961
none
jpn
open access